平行线的判定和性质(2)——平行四边形（2）——尖子生之路[八下系列]
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平行线的判定和性质(2)
——平行四边形（2）
【例1】已知：如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G．
（1）求证：AE=DG；
（2）若BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，求▱ABCD的周长．
【图文分析】
具体过程如下：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG，∠DEC=∠BCE，
∵∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，
∴∠ABG=∠CBG，∠DCE=∠BCE．
∴∠ABG=∠AGB，∠DCE=∠DEC．
∴AB=AG，CD=DE，∴AG=DE．
∴AD﹣AG=AD﹣DE，∴AE=DG．
（2）∵BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，
∴AG=3/4AD=15，∴AB=AG=15，
∴▱ABCD的周长为2（AB+AD）=2×（15+20）=70．
【反思】△ABG与△DCE均为等腰三角形键．
【拓展1】已知：在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G．
（1）求证：AE=DG；
（2）若BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，求▱ABCD的周长．
(注意:本题与上一题的区别仅是没有给图)
【图文分析】
（2）如下图示，答案为70或56．
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【拓展2】如图，平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠EAF=65°，求∠BAD的度数；
（2）若AE=3cm，BC=5cm，CD=4cm，求AF的长．
【图文解析】
（1）如下图，答案为115°；
（2）根据平行四边形的面积公式求解．
由S□ABCD＝BC×AE＝CD×AF，得
5×3＝4AF，解得AF=15/4．
【拓展3】如图，▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求EF的长；（2）求△DEF的面积．
【解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4,AB∥CD,AB=CD=3.
∵E为BC中点，∴BE=CE=2．
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°．∴BF=1．
由勾股定理，得
EF=…＝√3；
（2）∵AB∥CD，∴∠B=∠ECH．
在△BFE和△CHE中，∠B＝∠ECH，BE＝CE，∠BEF＝∠CEH．
∴△BFE≌△CHE(ASA)．
∴EF=EH=√3，CH=BF=1．
∵S△DHF=0.5DH•FH=4√3，
∴S△DEF=0.5S△DHF=2√3．
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